6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1

Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I xyz + z ) dl, pˆnw sto eujôgrammo tm ma me arq to A1,, ) kai pèrac to B,, 1). z 1.8.6.4 A1,, ) O y...4.6 x Mx, y, z).8 1.5 1 1.5 B,, 1).5 3 3 1 Z X. A O 1,,). M x,y,z) B,,-1) Y Jèma. DÐnetai to sôrma ulikì tìxo) me parametrik parˆstash: kai grammik puknìthta x t, y t, z t 3, t A, t B 1) fx, y, z) Na upologisjeð h mˆza tou kai to kèntro mˆzac tou. xyz 1 + 4y + 9zx

Jèma 3. Na upologisteð to epikampôlio olokl rwma C A,B x + xy + z ) dl pˆnw sto eujôgrammo tm ma, ìtan A 1, 1, 1) kai B, 3, 1). Z. A 1,1,1) O. M x,y,z) Y X B,3,-1) Jèma 4. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I xy dl KK y B, 5) Q R A6, ) P O K x ìpou KK eðnai h perðmetroc tou trig nou tou sq matoc. 3

Jèma 5. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I x dl pˆnw sto tetartokôklio tou sq matoc, me aktðna Ðsh me. y B, ) M t O A, ) x Jèma 6. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I katˆ m koc thc kampôlhc: B A [ xy + z)dx + x y ) dy + 7z x dz ] x t, y t, z t, A,, ), B, 4, 4) kai na dojeð mða fusik ermhneða tou. Jèma 7. Na upologisteð to epikampôlio olokl rwma I ìtan C A,B 4 x + 9x y z ) dl, C { x, y, z) : y x, z x 3} me A1, 1, 1), B, 4, 8). 4

Jèma 8. Na upologisjeð to èrgo thc dônamhc F x, y, z) y, z, x) gia thn metakðnhsh apì to shmeðo K,, ), eujôgramma, sto shmeðo Λ1,, 3). Z. M x,y,z). /\ 1,,3) K Y X Jèma 9. Leptì sôrma èqei lugisjeð sto sq ma hmikuklðou. Na brejeð to kèntro mˆzac tou sôrmatoc, an h puknìthta se kˆje shmeðo M eðnai anˆlogh thc apìstashc apì thn eujeða pou dièrqetai apì ta ˆkra tou. y a M B O t A x 5

Jèma 1. To magnhtikì pedðo H pou peribˆllei èna sôrma, apì to opoðo pernˆei reôma I, ikanopoieð ton nìmo tou Ampére: C + H dr I, ìpou C mða kleist prosanatolismènh kampôlh ston R 3 sq.1). H. C MÐa epðpedh tom tou sôrmatoc faðnetai sto sq ma. y H T C ρ x, y) O x Peiramatikˆ diapist netai ìti to H efˆptetai se kˆje kôklo C tou epipèdou XOY tou opoðou to kèntro eðnai o ˆxonac tou sôrmatoc kai ìti to mètro tou H paramènei stajerì pˆnw se kˆje tètoio kôklo. Dhlad H H T, ìpou T to monadiaðo efaptìmeno diˆnusma tou C kai H staj. Na apodeiqjeð ìti: H I πρ, ìpou ρ h aktðna tou kôklou C kai I h èntash tou reômatoc pou pernˆei mèsa apì to sôrma. 6

Jèma 11. Na upologisteð h mˆza tou ulikoô kuklikoô tìxou R α συνt, ìtan sto q ro xyz èqoume: z, fx, y, z) xy x + y grammik puknìthta) kai t π 4. Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc 7

. Lumènec Ask seic 8

Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I xyz + z ) dl, pˆnw sto eujôgrammo tm ma me arq to A1,, ) kai pèrac to B,, 1). LUSH fx, y, z) dl tb t A f [xt), yt), zt)] ẋ t) + ẏ t) + ż t) dt, ìpou ẋt) dx dt, ẏt) dy dt, żt) dz dt. B ma 1 o BrÐskoume tic parametrikèc exis seic thc kampôlhc. An Mx, y, z) eðnai tuqaðo shmeðo pˆnw stoz, tìte: X. A O 1,,). M x,y,z) B,,-1) Y Apì thn teleutaða brðskoume: pou eðnai h zhtoômenh parametrik parˆstash. AM t x 1, y, z ) t 1,, 1 ) x 1, y, z) t, t, t). {x 1 t, y t, z t} x 1 + t, y t, z t 9

B ma o UpologÐzoume tic timèc t A, t B pou antistoiqoôn sta ˆkra A, B thc kampôlhc. JewroÔme mða apì tic teleutaðec isìthtec, p.q thn y t. 'Eqoume: y A t A t A, y B t B t B 1. B ma 3 o UpologÐzoume tic parag gouc: ẋt) dx dt, dy ẏt) dt, dz żt) dt. Apì tic parametrikèc exis seic brðskoume: ẋt) dx dt 1, dy ẏt) dt, dz żt) dt 1. B ma 4 o UpologÐzoume thn sunˆrthsh f [xt), yt), zt)]. fx, y, z) xyz + z f [xt), yt), zt)] xt)yt)zt) + z t) 1 + t) t t) + t) 4t 1 + t) + t 3t 4t 3. B ma 5 o UpologÐzoume to orismèno olokl rwma. tb t A f [xt), yt), zt)] ẋ t) + ẏ t) + ż t) dt. xyz + z ) dl tb f [xt), yt), zt)] ẋ t) + ẏ t) + ż t) dt t A 3t 4t 3) 1 + + 1) dt 1 6 1 3 6 1 3t 4t 3) dt 3 [ t 3 6 3 t dt 4 6 ] 1 4 [ t 4 6 4 1 ] 1 t 3 dt 6 1 3 3) 6 1 4 4) 6. 1

Jèma. DÐnetai to sôrma ulikì tìxo) me parametrik parˆstash: kai grammik puknìthta x t, y t, z t 3, t A, t B 1) fx, y, z) Na upologisjeð h mˆza tou kai to kèntro mˆzac tou. xyz 1 + 4y + 9zx LUSH H sunolik mˆza tou sôrmatoc: M fx, y, z) dl. Oi suntetagmènec tou kèntrou mˆzac C eðnai: x C 1 M y C 1 M z C 1 M xfx, y, z) dl yfx, y, z) dl zfx, y, z) dl H mˆza tou tìxou eðnai: M fx, y, z) dl M Apì thn parametrik parˆstash tou tìxou brðskoume: MporoÔme t ra na grˆyoume: M tb ẋt) 1, ẏt) t, żt) 3t. fx, y, z) dl xyz 1 + 4y + 9xz dl. t A fxt), yt), zt)) ẋ t) + ẏ t) + ż t) dt 1 1 1 t t t 3 1 + 4t + 9t t 3 1 + t) + 3t ) dt t 6 1 + 4t + 9t 4 1 + 4t + 9t 4 dt [ t t 6 7 dt 7 ] 1 11 1 7.

To kèntro mˆzac tou tìxou èqei suntetagmènec: x C 1 xfx, y, z) dl M 1 1 7 7 7 tb 7 t A 1 1 1 7 8. y C 1 M 1 1 7 7 7 xt)yt)zt) ẋ xt) t) + ẏ t) + ż t) dt 1 + 4yt) + 9xt)zt) t t t 3 t 1 + t) + 3t ) dt 1 + 4t + 9 t t 3 tb 7 t A 1 1 1 7 9. z C 1 M 1 1 7 7 7 tb 7 t A 1 1 1 7 1. ProkÔptei loipìn h jèsh tou t 7 1 + 4t + 9t 4 1 + 4t + 9t 4 dt t 7 dt yfx, y, z) dl xt)yt)zt) ẋ yt) t) + ẏ t) + ż t) dt 1 + 4yt) + 9xt)zt) t t t t 3 1 + t) + 3t ) dt 1 + 4t + 9 t t 3 t 8 1 + 4t + 9t 4 1 + 4t + 9t 4 dt t 8 dt zfx, y, z) dl xt)yt)zt) ẋ zt) t) + ẏ t) + ż t) dt 1 + 4yt) + 9xt)zt) t 3 t t t 3 1 + t) + 3t ) dt 1 + 4t + 9 t t 3 t 9 1 + 4t + 9t 4 1 + 4t + 9t 4 dt t 9 dt C : 7 8, 7 9, 7 ) 1. 1

Jèma 3. Na upologisteð to epikampôlio olokl rwma C A,B x + xy + z ) dl pˆnw sto eujôgrammo tm ma, ìtan A 1, 1, 1) kai B, 3, 1). Z. A 1,1,1) O. M x,y,z) Y X B,3,-1) LUSH Gia na parametropoi soume tic x, y, z me bˆsh to tuqaðo shmeðo M pou kineðtai sto eujôgrammo tm ma C A,B ) jewroôme ìti: dhlad paðrnoume AM t x 1, y 1, z 1) t 1, 3 1, 1 1) x 1, y 1, z 1) t, t, t) x t + 1, y t + 1, z t + 1, opìte ẋt) 1, ẏt), żt). Ja prosdiorðsoume t ra ta ˆkra t A, t B. Ac pˆroume wc bˆsh to x. 13

Gia x A 1 t A, Gia x B t B 1, ˆra t A < 1 t B. OdhgoÔmaste loipìn sto ex c upologismì: C A,B x + xy + z ) dl 1 1 1 1 [t + 1) + t + 1)t + 1) + t + 1) 1 + + ) ] dt t + t + 1 + t + t + t + 1 + 4t 4t + 1 ) 9 dt 7t + t + 3 ) 3 dt 1t + 3t + 9 ) dt [ ] t 3 1 [ ] t 1 1 + 3 + 9[t] 1 3 1 1 3 + 3 1 + 9 1 1 3 + 3 + 9 7 + 3 + 9 16 + 3 35. 14

Jèma 4. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I xy dl KK y B, 5) Q R A6, ) P O K x ìpou KK eðnai h perðmetroc tou trig nou tou sq matoc. LUSH Profan c mporoôme na grˆyoume: xy dl KK KA xy dl + xy dl + xy dl 1) BK opìte arkeð na upologðsoume qwristˆ kajèna apì ta trða oloklhr mata tou b' mèlouc: a) Gia to pr to olokl rwma jewroôme mða parametrik parˆstash tou euj. tm matoc KA. An P x, y) eðnai tuqaðo shmeðo tou, èqoume: KP t KA x, y ) t6, ) x 6t, y t. Apì thn pr th, me x k brðskoume t k, en me x A 6 brðskoume t k 1. Me parag gish prokôptei: ẋt) 6, ẏt). MporoÔme t ra na grˆyoume: 15

AK xy dl 1 4 4 6t t 6 + dt 1 t dt [ 4 ] 1 4 t 3 3 8 4. ) b) Gia to deôtero olokl rwma, an Qx, y) eðnai tuqaðo shmeðo thc, èqoume: AQ t x 6, y ) t 6, 5 ) x 6 4t, y + 3t. Apì thn pr th ap> autèc, me x A 6 brðskoume t A, en me x B brðskoume t B 1. Akìmh: ẋt) 4, ẏt) 3 opìte èqoume: xy dl 1 1 1 1 6 4t) + 3t) 4) + 3 dt 1t + 1t + 1 ) dt 1 [ 1 3 t3 t dt + 1 ] 1 1 [ 1 + t ] 1 1 t dt + 1 + 1 dt 13. 3) g) Gia to trðto olokl rwma, an Rx, y) tuqaðo shmeðo thc BK èqoume: BR t BK x, y 5) t, 5) x t, y 5 5t. H pr th ap> autèc dðnei: Gia x B to t B en gia x K to t K 1. Akìmh 'Eqoume: BK xy dl 1 9 ẋt), ẏt) 5. t)5 5t) ) + 5) dt 1 [ ] 1 9 t 3 3 9 3 1t t + 1 ) dt [ 4 ] 1 9 [ t + ] 1 9. 5) 16

Me antikatˆstash sth sqèsh 1) prokôptei h tim tou I : I 8 4 + 13 + 9 3. Parat rhsh: Profan c isqôei: fx, y, z) dl BA fx, y, z) dl gia to epikampôlio olokl rwma pr tou eðdouc. Prosèqoume ìmwc to ˆnw ˆkro tou orismènou oloklhr matoc wc proc t na eðnai pˆnta megalôtero tou kˆtw. ParathroÔme akìmh ìti sthn ˆskhsh aut h kampôlh olokl rwshc eðnai kleist. lìgo autì sumbolðzoume: KK xy dl C xy dl, C KK). Gia to EÐnai profanèc akìmh, ìti h kampôlh olokl rwshc eðnai kleist, mporoôme na jewr soume arq kai pèrac sumpðptoun) èna opoiod pote shmeðo. 17

Jèma 5. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I x dl pˆnw sto tetartokôklio tou sq matoc, me aktðna Ðsh me. y B, ) M t O A, ) x LUSH Gia thn paramètrik parˆstash tou tetartokôkliou parathroôme ìti to tuqaðo shmeðo tou Mx, y) èqei: x cos t, y sin t ìpou t h gwnða pou faðnetai sto sq ma. Profan c to shmeðo A antistoiqeð sto t A en to B gia t B π. Autì prokôptei apì to sq ma apì mða apì tic x cos t, y sin t an antikatast soume x A, y A, x B, y B. Apì tic exis seic autèc prokôptei: ẋt) dx dt MporoÔme loipìn t ra na grˆyoume: sin t, dy ẏt) dt cos t. 18

x dl 4 tb t A xt) ẋ + ẏ dt π π π cos t sin t) + cos t) dt cos t 4 sin t + cos t ) dt cos t dt 4 [sin t] π 4. 19

Jèma 6. Na upologisjeð to epikampôlio olokl rwma I katˆ m koc thc kampôlhc: B A [ xy + z)dx + x y ) dy + 7z x dz ] x t, y t, z t, A,, ), B, 4, 4) kai na dojeð mða fusik ermhneða tou. LUSH Apì th dosmènh parametrik parˆstash, me x A brðskoume t A, en me x B prokôptei t B. Akìmh èqoume: Me bˆsh ta parapˆnw, to olokl rwma grˆfetai: dx dt, dy dt, dz tdt. I 14 [ tt + t ) dt + t 4t ) dt + 7t 4 ttdt ] 14t 6 3t ) dt [ 14 7 t7 t 6 dt 3 ] 7 3 48. [ 3 3 t3 ] t dt An jewr soume th dônamh: profan c eðnai: F xy + z, x y, 7z x ) B A F dl I B A B A xy + z, x y, 7z x ) dx, dy, dz) xy + z)dx + x y ) dy + 7z xdz I B A F dl. 'Ara to olokl rwma autì eðnai Ðso me to èrgo thc dônamhc F gia metakðnhsh apì to shmeðo A mèqri to B katˆ m koc thc kampôlhc: x t, y t, z t.

Jèma 7. Na upologisteð to epikampôlio olokl rwma I ìtan C A,B 4 x + 9x y z ) dl, C { x, y, z) : y x, z x 3} me A1, 1, 1), B, 4, 8). LUSH Kˆnoume parametropoðhsh twn x, y, z. Jètoume x t opìte y t kai z t 3 me BrÐskoume ta ˆkra wc proc t. ẋt) 1, ẏt) t, żt) 3t. Epilègoume thn y x kai parathroôme ìti 1 x 1 t. 'Etsi odhgoômaste ston ex c upologismì: I 1 1 1 8t + 36t 3 ) 1 + t) + 3t ) dt 8t + 36t 3 ) 1 + 4t + 9t 4 dt 1 + 4t + 9t 4) 1 + 4t + 9t 4) 1 dt [ 1 + 4t + 9t 4) ] 3 3 1 98. Parat rhsh: An jèlame na prosdiorðsoume ta ˆkra olokl rwshc me bˆsh thn y, ja lambˆnoume upìyh ìti: y x y. 1

Jèma 8. Na upologisjeð to èrgo thc dônamhc F x, y, z) y, z, x) gia thn metakðnhsh apì to shmeðo K,, ), eujôgramma, sto shmeðo Λ1,, 3). LUSH To zhtoômeno èrgo eðnai Ðso me to epikampôlio olokl rwma: W K Λ Λ K F dl. 1) Z. M x,y,z). /\ 1,,3) K Y X 'Omwc eðnai: F y, z, x), dl dx, dy, dz) F dl ydx + zdy + xdz. ) BrÐskoume t ra mða parametrik parˆstash tou eujôgrammou tm matoc KΛ. An Mx, y, z) tuqaðo shmeðo tou, eðnai: KM tkλ x, y, z ) t1,, 3 ) x t, y t, z 3t. Sthn arq K èqw x K, ˆra t K. Sto pèrac Λ eðnai x Λ 1, ˆra t Λ 1. Akìmh apì thc parametrikèc exis seic brðskoume: dx dt, dy dt, dz 3dt. H 1) lìgo thc ) kai twn parametrik n exis sewn dðnei: W K Λ 1 tdt + 3t dt + t 3dt) 11 1 t dt 11.

Jèma 9. Leptì sôrma èqei lugisjeð sto sq ma hmikuklðou. Na brejeð to kèntro mˆzac tou sôrmatoc, an h puknìthta se kˆje shmeðo M eðnai anˆlogh thc apìstashc apì thn eujeða pou dièrqetai apì ta ˆkra tou. LUSH H sunolik mˆza tou sôrmatoc: M fx, y, z) dl. Oi suntetagmènec tou kèntrou mˆzac C eðnai: x C 1 M y C 1 M xfx, y, z) dl yfx, y, z) dl 'Estw a h aktðna tou hmikuklðou. y a M B O t A x An eisˆgoume èna sôsthma suntetagmènwn ètsi ste to sôrma na sumpðptei me to pˆnw hmikôklio tou kôklou me aktðna a kai kèntro O, tìte oi parametrikèc exis seic gia thn kampôlh C eðnai x a cos t, y a sin t, t π. 3

Profan c to shmeðo A antistoiqeð sto t A en to B gia t B π. Autì prokôptei apì to sq ma apì mða apì tic x a cos t, y a sin t an antikatast soume x A a, y A, x B a, y B. Apì tic exis seic autèc prokôptei: ẋt) dx dt a sin t, dy ẏt) dt a cos t. SÔmfwna me thn upìjesh, h sunˆrthsh thc puknìthtac f eðnai 'Ara h mˆza tou sôrmatoc eðnai M MporoÔme loipìn t ra na grˆyoume: M EÐnai profanèc ìti x C. 'Ara fx, y) k y gia kˆpoia stajerˆ k. tb fx, y) dl fx, y) dl k y) dl. t A fxt), yt)) ẋ t) + ẏ t) dt π π π π π k a sin t a sin t) + a cos t) dt k a sin t a sin t + a cos t dt k a sin t a sin t + cos t ) dt k a sin t a 1 dt k a sin t a dt π ka sin t dt ka [ cos t] π ka cos π + cos ) ka [ 1) + 1] ka. 4

y C 1 M 1 ka 1 ka 1 ka ka3 ka a a 4 a 4 π tb [ t yfx, y) dl t A yt)[kyt)] ẋ t) + ẏ t) dt π π π π πa 4, 785a. a sin t)ka sin t) a sin t) + a cos t) dt a sin t)ka sin t)a dt sin t dt 1 cos t dt sin t ] π sin π + sin ) 5

Jèma 1. To magnhtikì pedðo H pou peribˆllei èna sôrma, apì to opoðo pernˆei reôma I, ikanopoieð ton nìmo tou Ampére: C + H dr I, ìpou C mða kleist prosanatolismènh kampôlh ston R 3 sq.1). H. C MÐa epðpedh tom tou sôrmatoc faðnetai sto sq ma. y H T C ρ x, y) O x Peiramatikˆ diapist netai ìti to H efˆptetai se kˆje kôklo C tou epipèdou XOY tou opoðou to kèntro eðnai o ˆxonac tou sôrmatoc kai ìti to mètro tou H paramènei stajerì pˆnw se kˆje tètoio kôklo. Dhlad H H T, ìpou T to monadiaðo efaptìmeno diˆnusma tou C kai H staj. Na apodeiqjeð ìti: H I πρ, ìpou ρ h aktðna tou kôklou C kai I h èntash tou reômatoc pou pernˆei mèsa apì to sôrma. LUSH 6

EÐnai ìpou I H dr H T dr, C + C + T eðnai to monadiaðo efaptìmeno diˆnusma tou kôklou Epomènwc 'Ara: b r t) I H a r t) r t)dt H r t) r t) C : r rt), t [a, b]. b a r t) dt H perðmetroc tou kôklou) H πρ. H I πρ. 7

Jèma 11. Na upologisteð h mˆza tou ulikoô kuklikoô tìxou R α συνt, ìtan sto q ro xyz èqoume: z, fx, y, z) xy x + y grammik puknìthta) kai t π 4. LUSH H mˆza tou ulikoô: M fx, y, z) dl tb tb t A fxt), yt), zt)) ẋ t) + ẏ t) + ż t) dt t A fxt), yt), zt)) ẋ t) + ẏ t) dt, zt) żt) ). ParametropoioÔme tic x, y. opìte: kai x R συνt, y R ηµt x α συνt συνt, y α συνt ηµt xt) α συνt συνt ẋt) a ηµt) συνt+a συνt ηµt) aηµt συνt+ηµt συνt) yt) α συνt ηµt ẏt) a ηµt) ηµt + a συνt συνt aηµt ηµt συνt συνt) ẋ t) + ẏ t) a [ηµt συνt + ηµt συνt] + a [ηµt ηµt συνt συνt]... a 1 + 3ηµ t ). EÐnai fx, y, z) xy x + y fxt), yt), zt)) xt)yt) x t) + y t) α συνt συνt α συνt ηµt α συν t συν t + α συν t ηµ t α συν t συνt ηµt α συν t συν t + ηµ t) α συν t συνt ηµt α συνt α συνt συνt ηµt 1 a συνt ηµt. 8

Profan c 'Ara xy x + y afoô t π 4 t π. M 1 a π 4 fx, y, z) dl π 4 a συνt ηµt a 1 + 3ηµ t) dt συνt ηµt 1 + 3ηµ t ) 1 dt. Ja ergastoôme me antikatˆstash: Epomènwc: M a 4 4 1 u 1 du a 4 [ u 3 u 1 + 3ηµ t du 1 ηµt συνt dt 3 ] 4 1 t u 1 t π 4 u 4. [ ] 4 a 4 ) u 3 4 a 3 1 a 3 1 36 36 43 1) a 7a 8 1) 36 36. 9